这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
这是抽象代数的内容:集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
群是一种特殊的代数系统，其二元运算可结合，有幺元，每个元素都有逆元，或者说，群上一个每个元素都有逆元的独异点。掌握判断一个代数系统是否为群的方法。领会群的几种性质：幺元是唯一的，每个元素有逆元，每个元素都可逆，如果群中元素多于一个，则一定没有零元，关于方程的可解性。熟记群的运算性质，领会群中元素负指数幂的概念，掌握指数幂的运算法则。理解元素的阶的概念，有限群中每个元素的阶都是有限的且不会超过群的阶。掌握利用群的运算表判断群的幺元、每个元素的逆元的方法。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：
（1）封闭性
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;
（2）结合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）单位元存在
存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;
（4）逆元存在
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b。
通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab。
若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算*
对于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg。
A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB。
群的替换定理
G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G。
定义记法
G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}
子群的定义
如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：
HH=H且H^(-1)=H H是G的子群。
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